Подскажите, пожалуйста, должен ли директор на новом предприятии подавать сам на себя отчет о принятых работниках, если он сдавал в налоговую форму 1-ОПП?

Собственник подает о назначении директора

То есть собственник должен был подать отчет о принятых на директора?

Да кто угодно, но подать нужно. Форма 1-ОПП - это уведомление налоговой о смене директора, а отчет о принятых - это отчет о принятии работника, который подается в орган, администрирующий ЕСВ. Улавливаете разницу?

Так с 01/10/2013 ЕСВ тоже админитрирует налоговая

Ну да, поэтому отчет о принятых подается в налоговую. Подача 1-ОПП этот отчет не заменяет.