Подскажите , пожалуйста, как директор должен отправить себя в отпуск-писать заявление(кому?), подписать приказ (кому приказывает?) или издать распоряжение"я ухожу в отпуск" или т.п.????

Да. Именно так. Если есть учредители, то собранием учредителей можно. Кого-то же нужно назначить заменять.

отбываю в очередной отпуск с и по. право подписи на время предоставляю такому-то

А если некому, фирма маленькая???
Кто-нибудь сталкивался с такой ситуацией

Ну так никто и не будет исполнять обязанности директора (пока он не вернется из отпуска).